INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA: ENTI FONDAMENTALI E DEFINIZIONE DI TEOREMA

Che cos’è la geometria?

La geometria è la scienza che studia le proprietà delle figure.

Gli enti geometrici fondamentali sono: il punto, la retta ed il piano.

Un insieme generico di punti si chiama figura geometrica o semplicemente figura.

Una figura geometrica si dice piana se tutti i suoi punti appartengono ad uno stesso piano.

Al contrario se i punti di una figura geometrica non giacciono tutti su uno stesso piano, si parla di figura solida.

Lo studio della geometria si poggia su tre elementi: i postulati, le definizioni ed i teoremi. Mediante questi tre elementi è possibile risolvere gli esercizi di geometria.

Il postulato è un enunciato basato su proposizioni primitive che si ammettono come vere e si accettano senza dimostrazione, essendo evidenti.

La definizione rappresenta invece la spiegazione del significato di una nuova parola o di una nuova frase usando altre parole già note.

Il teorema è una proposizione che si accetta come vera in seguito ad un ragionamento che viene detto dimostrazione. Tale ragionamento viene supportato per mezzo dei postulati e delle definizioni.

In ogni teorema di geometria si distinguono:

• Il soggetto, che rappresenta la figura oggetto del teorema.

• L’ipotesi, che è l’insieme delle proprietà che si suppone appartengano al soggetto.

• La tesi, che è l’insieme delle proprietà del soggetto, la cui esistenza di deve provare mediante un ragionamento, che come detto viene chiamato dimostrazione del teorema.

Facciamo un esempio reale.

Teorema: Se in un triangolo due lati sono uguali, allora sono uguali anche gli angoli opposti ad essi.

In questo teorema riconosciamo quindi l’oggetto, l’ipotesi e la tesi.

In particolare abbiamo che:

• Oggetto: triangolo

• Ipotesi: due lati di un triangolo sono uguali.

• Tesi: gli angoli opposti a questi lati sono uguali.

Se assegnato un teorema si scambia l’ipotesi con la tesi, si ha un nuovo teorema che si chiama teorema inverso del primo.

Ad esempio, se riprendiamo il teorema precedente, otteniamo il seguente teorema inverso.

Teorema inverso: Se due angoli di un triangolo sono uguali, sono pure uguali i lati opposti ad essi.

Non è immediato tuttavia che il teorema inverso che si ottiene da questo scambio sia vero. Occorre dimostrarlo come avviene per qualsiasi teorema.

Esistono diversi metodi per dimostrare i teoremi.

Si parla di dimostrazione diretta di un teorema se da partendo dall’ipotesi, che rappresenta una affermazione nota e vera, si arriva a dimostrare che è vera la tesi.

Si parla di dimostrazione indiretta o per assurdo, quando il ragionamento si inizia con il negare la tesi e da questa negazione si arriva ad una conclusione assurda. In questo modo si arriva a provare che non è possibile negare la tesi e quindi necessariamente la tesi deve essere vera.

Esistono particolari teoremi detti corollari. Il corollario è un teorema che si considera come diretta conseguenza di un postulato, di una definizione o di un altro teorema precedentemente dimostrato.

Infine abbiamo i problemi di geometria. Un problema è una questione nella quale sono note alcune condizioni e informazioni (che vengono dette dati del problema) e, a partire da esse, si chiede di determinare altri dati (che vengono detti soluzioni del problema). Le soluzioni del problema sono legate ai dati del problema da relazioni che vanno individuate ed applicate attraverso un ragionamento chiamato risoluzione del problema e che porta pertanto a determinare le soluzioni del problema stesso.

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