I SEGMENTI – ESERCIZIO: SOMMA E DIFFERENZA DI DUE SEGMENTI
Care amiche e cari amici,
ben ritrovati su NPR matematica, il canale di video-lezioni dedicate ai diversi temi che riguardano l’aritmetica e la geometria.
Questa lezione nello specifico è dedicata allo svolgimento di un esercizio sulla somma e la differenza di segmenti.
Il video della lezione è disponibile al seguente link, altrimenti puoi continuare con la lettura di questa pagina.
Passiamo quindi a leggere il testo dell’esercizio: «La somma di due segmenti misura 50 cm, mentre la loro differenza misura 10 cm. Calcolare la lunghezza di ciascun segmento».
Possiamo dunque passare allo svolgimento dell’esercizio.
Nella maggior parte dei problemi di geometria del piano, un aspetto fondamentale riguarda la rappresentazione grafica del problema stesso.
Questa semplice azione può infatti aiutarci a risolvere il problema usando intuizioni che possono derivare dall’analisi del disegno geometrico che rappresenta il problema ma può aiutarci anche ad effettuare verifiche finali sul risultato trovato.
Seguendo questo suggerimento, cominciamo a rappresentare il nostro problema su un foglio a quadretti.
Chiamiamo i nostri due segmenti rispettivamente AB e CD.
Dovendoli disegnare, anzitutto dobbiamo decidere se disegnarli della stessa lunghezza oppure disegnarne uno più grande ed uno più piccolo.
Leggendo l’esercizio capiamo che la prima ipotesi è da scartare in quanto ci viene detto che la differenza tra i due segmenti è pari a 10 cm e pertanto i due segmenti non sono della stessa lunghezza, si dice in particolare che non sono congruenti.
Disegniamo quindi due segmenti di lunghezza differente. In particolare come indicato nella figura, abbiamo deciso di disegnare un primo segmento di estremi A e B di lunghezza maggiore ad un secondo segmento di estremi C e D.
Diremo quindi che AB > CD.
L’esercizio ci dice ora che la somma dei due segmenti è pari a 50 cm. Possiamo quindi scrivere che AB + CD = 50 cm.
Un’altra informazione fornita dall’esercizio è che la differenza dei due segmenti è pari a 10 cm. Potremo scrivere che AB – CD = 10 cm.
Proviamo ora a rappresentare graficamente questi valori di somma e di differenza.
Nella figura seguente stiamo rappresentando la somma dei due segmenti. Disegnandoli uno di seguito all’altro abbiamo che la loro lunghezza totale è pari a 50 cm.
Nella stessa figura, rappresentiamo ora la differenza tra i due segmenti. Nella parte in basso del foglio a quadretti andiamo quindi a disegnare i due segmenti uno sotto all’altro dove notiamo che il segmento CD è più corto del segmento AB di una lunghezza pari a 10 cm, e questa misura rappresenta proprio la differenza tra i due segmenti.
Per risolvere l’esercizio, abbiamo un paio di metodi da seguire. Un primo metodo consiste nel rimuovere dalla figura il segmento AB. Ecco come appare la situazione avendo rimosso il segmento AB.
Per meglio comprendere questo primo procedimento allineiamo i due segmenti CD rappresentati nella figura. In particolare il segmento di sinistra lo spostiamo verso l’alto, come indicato dalla freccia di colore rosso.
Ecco quindi come appare ora la nostra rappresentazione grafica avendo spostato in alto il segmento di sinistra.
A questo punto comincia a diventare piuttosto immediato il calcolo della lunghezza del segmento CD. Notiamo infatti che la lunghezza totale dei due segmenti CD è pari a 50 cm con un «buco» al centro di 10 cm.
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Ciò significa che la lunghezza totale dei due segmenti CD è pari a 50 cm -10 cm = 40 cm.
Possiamo comprendere meglio questa osservazione, se spostiamo a destra il buco di 10 cm e allo stesso tempo accostiamo a sinistra il secondo segmento CD.
In tal caso è evidente che la lunghezza totale dei due segmenti CD è pari a 50 cm – 10 cm.
Bene, a questo punto sappiamo che la somma di questi due segmenti è pari a 40 cm.
Sappiamo inoltre che questi due segmenti hanno uguale lunghezza
e pertanto la lunghezza del singolo segmento è pari alla metà di questa somma.
Quindi la lunghezza del singolo segmento CD = 40 cm / 2 = 20 cm.
Ritorniamo ora alla nostra rappresentazione iniziale, dove ora sappiamo che il segmento CD misura 20 cm.
Concentriamoci sulla rappresentazione in basso cancellando tutto il resto.
Diviene ora abbastanza semplice osservare che la lunghezza del segmento AB è uguale alla lunghezza di CD a cui vanno aggiunti 10 cm.
Quindi scriveremo che AB = CD + 10 cm = 20 cm + 10 cm = 30 cm.
Con questo semplice ragionamento abbiamo quindi completato la soluzione del nostro esercizio.
In particolare risulta che AB = 30 cm e CD = 20 cm
Quello fin qui visto rappresenta il primo metodo per risolvere l’esercizio.
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Possiamo usare un secondo metodo del tutto equivalente.
A tale scopo, ritorniamo alla rappresentazione grafica del nostro problema.
Abbiamo i due segmenti, AB e CD e sappiamo che la loro somma è pari a 50 cm mentre la loro differenza è pari a 10 cm.
Proviamo ora a spostare verso destra la seconda rappresentazione grafica.
In modo tale che l’estremo A del secondo segmento AB si trovi in corrispondenza dell’estremo B del primo segmento AB.
Cancelliamo ora il segmento CD da questa rappresentazione.
Scopriamo ora che è davvero molto semplice calcolare quanto vale la somma dei due segmenti AB.
In particolare, tale somma vale 50 cm + 10 cm e quindi 60 cm.
Scriviamo quindi che AB + AB = 60 cm.
Bene, dal momento che i due segmenti AB hanno uguale lunghezza e che la loro somma vale 60 cm, allora possiamo osservare che la lunghezza di AB è pari alla metà di 60 cm.
Scriviamo quindi che AB = 60 cm : 2 = 30 cm.
Osserviamo quindi che con questo ragionamento abbiamo ottenuto lo stesso risultato ottenuto con il primo metodo.
Se ora ritorniamo alla nostra rappresentazione iniziale,
possiamo riportare sul foglio a quadretti la misura del segmento AB pari a 30 cm.
È facile a questo punto rendersi conto che il segmento CD può essere ottenuto dalla lunghezza del segmento AB che è pari a 30 cm meno 10 cm.
Pertanto otteniamo che CD ha una lunghezza di 20 cm.
È immediato ora controllare che i risultati ottenuti sono identici a quelli ottenuti con il metodo precedente.
In particolare risulta che AB = 30 cm e CD = 20 cm.
In questo caso i due metodi sono del tutto equivalenti e non esiste quindi un metodo da preferire.
Bene, siamo giunti al termine di questa lezione, ma vi suggeriamo di consolidare subito i concetti appena appresi rivedendo attentamente i contenuti di questa lezione ed il relativo video e soprattutto andando a riguardare tutte le nostre lezioni e video sull’argomento, accedendo alle nostre playlist.
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Eccovi il video della lezione:
