GRANDEZZE E MISURE – TEORIA: MISURE DI SUPERFICIE
Care amiche e cari amici ben ritrovati su NPR Matematica, il sito di lezioni gratuite sui diversi temi che riguardano il mondo della matematica e della geometria.
Questa serie di video è dedicata nello specifico alle grandezze ed alle relative misure ed in particolare in questa lezione ci occuperemo degli aspetti teorici che governano le misure di superficie.
Partiamo con un breve riepilogo.
Abbiamo visto come nel caso delle misure di lunghezza, possiamo effettuare delle misurazioni andando a definire una unità di misura rappresentata ad esempio da un segmento di lunghezza nota:
E successivamente andando a contare quante volte tale segmento di riferimento deve essere replicato per colmare interamente la lunghezza che dobbiamo misurare.
Nello specifico, abbiamo trovato che il segmento AB misura 6 u dove con u abbiamo indicato la nostra unità di misura.
Prendiamo ora in considerazione un caso differente. Non più un segmento ma un rettangolo. Supponiamo ad esempio che il rettangolo rosso qui raffigurato rappresenti una mattonella.
Possiamo a questo punto chiederci: «quanto è grande questa mattonella?»
Bene, in questa lezione cercheremo di rispondere a questa domanda! Se vi interessa saperlo, non vi resta che procedere con la lezione!
Anzi, complichiamo ancora di più la nostra domanda. Prendiamo due mattonelle e chiediamoci ora:
«Qual è la mattonella più grande?»
Non è certamente una domanda molto precisa, in quanto dovremmo definire cosa si intende per “più grande”!
Qualcuno ad esempio potrebbe proporre di calcolare la lunghezza dei lati di ciascuna mattonella, dal momento che nelle precedenti lezioni abbiamo imparato ad effettuare misure di lunghezza. A tal proposito, definiamo un’unità di misura «u» e misuriamo la lunghezza dei lati di ciascuna mattonella.
Notiamo che queste misure di lunghezza non ci aiutano poi tantissimo a meno di non fare calcoli di aree che però saranno oggetto di lezioni successive.
Ad esempio scopriamo che l’altezza della prima mattonella vale 4u mentre quella della seconda mattonella vale 2u; saremmo quindi tentati di dire che la prima mattonella è più grande della seconda ed in particolare è pari al doppio. Ma a confonderci le idee arriva la seconda misura che ci dice che la base della prima mattonella misura 3u pari alla metà della base della seconda mattonella che misura invece 6u.
Appare evidente che se ci concentriamo su questo tipo di confronti non riusciremo a determinare quale mattonella sia più grande.
Procediamo quindi con un ragionamento più preciso e rigoroso.
Anzitutto, riportiamo tutto su un foglio a quadretti!
E scopriamo che è sufficiente questa semplice azione per aprirci nuovi metodi di confronto delle due mattonelle.
Possiamo ad esempio contare il numero di quadretti coperto da ciascuna mattonella. Quella mattonella che ne coprirà di più allora sarà la più grande!
Sembra questo un criterio sufficientemente rigoroso.
Andiamo quindi a contare il numero di quadretti coperto dalla prima mattonella: e 12!
Contiamo ora il numero di quadretti della seconda mattonella: anche questo è 12!
Bene, seguendo questo criterio, in pochi attimi scopriamo che nessuna delle due mattonelle è più grande dell’altra; per certi versi dovremmo dire che le due mattonelle sono uguali sebbene abbiano una forma differente.
Rendiamo ora più scientifico il nostro ragionamento.
Ciò che abbiamo effettuato poco fa, è una misura di superficie.
Abbiamo cioè definito una unità di misura di superficie rappresentata da un singolo quadretto e che chiameremo u al quadrato in modo da differenziarla dalle unità di misura di lunghezza che invece vengono semplicemente indicate con la lettera “u”.
Il termine “u al quadrato” indica il fatto che la nostra unità di misura è un quadrato di lato pari ad u e quindi la sua area (come impareremo nelle lezioni successive) è pari a u x u che può essere scritto in matematica con una notazione più compatta come u con un due come apice. Questa notazione richiama l’argomento delle potenze e anche questo è un argomento che affronteremo nelle lezioni successive.
Contare il numero di unità di superficie che occorre per coprire un dato oggetto, significa effettuare una misurazione di superficie o di area. Pertanto come avrete notato la nostra domanda iniziale «Qual è la mattonella più grande?» è stata convertita in una domanda più precisa: «Quale mattonella ha la superficie maggiore?» esplicitando quindi il concetto di superficie.
Come abbiamo già visto, per entrambe le mattonelle occorrono 12 unità di misura per coprirle completamente, ossia la superficie delle due mattonelle è 12 u²:
E pertanto hanno uguale superficie!
Chiediamoci ora se le precedenti misure di lunghezza potevano aiutarci nel calcolo della superficie delle due mattonelle.
Ebbene, sì!
Prendiamo in considerazione la prima mattonella che ha una altezza pari a 4 u ed una base pari a 3 u. Bene, se moltiplichiamo queste due misure, otteniamo l’area ossia la superficie della mattonella e, infatti, 4 x 3 fa proprio 12. Oltre a moltiplicare i valori delle misure, dobbiamo moltiplicare anche le unità di misura e pertanto abbiamo già visto che u x u fa u al quadrato. Abbiamo ottenuto quindi lo stesso risultato ottenuto con il metodo precedente dove abbiamo impiegato un’unità di misura di superficie.
Analogo discorso vale per la seconda mattonella. In questo caso dovremo moltiplicare 6 e 2 che rappresentano rispettivamente la base e l’altezza di questa mattonella, e otterremo nuovamente 12.
Finora abbiamo parlato genericamente di un’unità di misura di superficie pari ad u al quadrato.
Come ricorderete, in una precedente lezione abbiamo già ampiamente trattato il Sistema Internazionale che impone ben precise regole per le unità di misura.
In particolare, il Sistema Internazionale adotta come unità di misura principale della superficie il metro quadrato e cioè un quadrato di lato pari ad un metro (1 m).
Il simbolo del metro quadrato è m² (m minuscola seguito da un 2 di dimensioni inferiori posto in alto – cioè un apice – e senza l’utilizzo di alcun punto a seguire).
Sono quindi sbagliate le due frasi in rosso «100 m². rappresenta l’area del pavimento della mia casa.», poiché nella prima il numero due non viene scritto come apice, mentre nella seconda la misura viene seguita dal punto.
La notazione corretta è quella in verde dove si usa il due come apice, la lettera m minuscola e nessun punto a seguire.
Bene, siamo giunti al termine di questa lezione e ci auguriamo sia risultata utile e di vostro gradimento.
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Grazie per l’attenzione e… alla prossima!
Il video della lezione è disponibile qui:
