MISURA DEGLI ANGOLI
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Ben ritrovati sul canale di NPR matematica.
In questa lezione ci occuperemo di come effettuare misure di angoli.
Il video di questa lezione è disponibile qui:
Al di là della definizione di angolo risulta importante capire la misura che ad esso può essere associata.
Ad esempio nel caso dei segmenti abbiamo associato la misura di lunghezza del segmento.
Nell’esempio riportato in figura osserviamo che il segmento AB ha una lunghezza pari a 10 cm.
Nella scorsa lezione abbiamo visto che per effettuare misure di angoli si introduce il concetto di rotazione delle due semirette che costituiscono i due angoli.
Esistono diverse unità di misura associate all’ampiezza degli angoli.
In particolare, abbiamo il radiante, il grado decimale ed il grado sessagesimale.
Dal punto di vista dell’apprendimento e della praticità il grado sessagesimale rappresenta l’unità di misura più complicata da gestire, tuttavia rappresenta quella che viene affrontata per prima in geometria a partire dalle scuole medie.
In questa lezione ci dedicheremo dunque proprio a questa unità di misura.
Il simbolo del grado sessagesimale o decimale è °, mentre l’unità di misura del radiante viene indicata con l’abbreviazione rad.
Concentriamoci ora sul grado sessagesimale.
In particolare, abbiamo che la rotazione per effettuare un giro completo è pari a 360 gradi.
Ne deriva che un angolo di un grado corrisponde ad una rotazione pari alla 360-esima parte di un giro.
In tal modo, si arriva facilmente a capire che se un giro è pari a 360°,
allora avremo che mezzo giro corrisponde a 180°. Avremo quindi che un angolo piatto ha un’ampiezza di 180°. Infatti 360°/2 = 180°.
Abbiamo anche che un quarto di giro corrisponde dunque a 360°/4 = 90°. Avremo quindi che un angolo retto ha un’ampiezza di 90°.
Fatte queste precisazioni, possiamo ora stabilire che:
-Un angolo convesso ha un’ampiezza inferiore a 180°
-Un angolo concavo ha un’ampiezza superiore a 180°
-Un angolo piatto ha un’ampiezza pari a 180°
Abbiamo poi che:
-Un angolo acuto ha un’ampiezza inferiore a 90°
-Un angolo ottuso ha un’ampiezza compresa tra 90° e 180°
-Un angolo retto ha un’ampiezza di 90°. –
Le nozioni appena introdotte sono piuttosto semplici e non dovrebbero creare problemi una volta che si riesce a memorizzare il numero 360 corrispondente ad un angolo giro.
Il problema si complica quando occorre specificare un angolo inferiore ad un grado.
Nel caso del grado decimale se dividiamo un arco di un grado in due archi uguali diremo che avremo ottenuto due archi di mezzo grado.
Nel caso del grado sessagesimale, l’arco di mezzo grado sarà espresso usando i sottomultipli del grado sessagesimale, ossia il:
– Primo (indicato con il simbolo ‘) che è la 60-esima parte di un grado.
-Secondo (indicato con “) che è la 60-esima parte di un primo.
In altri termini abbiamo che 1 grado è composto da 60’ ed un primo è composto da 60″.
L’uso della ripartizione in 60 ci spiega ora perché si parla di grado sessagesimale.
Questa ripartizione ci è piuttosto familiare in quanto ci richiama la ripartizione delle ore in minuti e secondi.
Abbiamo infatti che un’ora è composta da 60 minuti ed un minuto è composto da 60 secondi.
Abbiamo già visto con le unità di misura del tempo che questo tipo di ripartizione purtroppo complica abbastanza i calcoli da svolgere quando si eseguono operazioni aritmetiche con misure di tempo e la stessa complicazione si ripresenterà con angoli espressi in gradi sessagesimali. Ecco perché nel caso degli angoli quando possibile si preferisce convertire le misure in gradi decimali o in radianti.
Tuttavia, una buona preparazione in geometria non può prescindere dalla conoscenza approfondita del grado sessagesimale.
Per prendere confidenza con questa unità di misura, torniamo al nostro esempio iniziale in cui abbiamo diviso un angolo di un grado in due parti uguali.
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Bene, sapendo che 1 grado è composto da 60 primi, possiamo dire che ripartendolo in due parti uguali avremo ottenuto due angoli ciascuno con ampiezza pari a 30 primi.
In particolare, nel sistema sessagesimale, se dividiamo un angolo di un grado in due parti uguali, non diremo che abbiamo ottenuto un angolo di mezzo grado ma un angolo di 30 primi. In altri termini, nel sistema sessagesimale non vanno usate le cifre decimali per esprimere i valori dei gradi e dei primi.
Ne deriva che se abbiamo un angolo pari ad 1 primo e lo suddividiamo in due parti uguali, non diremo che abbiamo ottenuto due angoli pari a mezzo primo, ma dal momento che un primo è pari a 60 secondi, diremo che abbiamo ottenuto due angoli da 30 secondi ciascuno.
Vale anche il discorso contrario: in particolare se ho un angolo che misura 65 primi, sarà opportuno ridurlo nella sua forma normale ossia occorre ricordarsi che 60 primi corrispondono ad 1 grado. Possiamo dunque scrivere che 65’ sono pari a 60 + 5 primi. Dal momento che 60’ sono pari ad un grado, avremo che 65’ espressi in forma normale sono pari ad 1 grado e 5 primi.
In definitiva, se vogliamo una regola pratica dobbiamo ricordare che nel sistema sessagesimale gli angoli vanno espressi senza usare numeri con la virgola, ed inoltre se si vuole usare la forma normale, il valore dei primi e dei secondi deve essere inferiore a 60.
In altri termini il GRADO SESSAGESIMALE espresso in IN FORMA NORMALE prevede che:
GRADI: numero naturale (senza la virgola)
PRIMI: numero naturale (senza la virgola) inferiore a 60
SECONDI: numero (anche con virgola) inferiore a 60
Tutte le volte che non ci troviamo in questa situazione dobbiamo cercare di ricondurci a tale forma che viene detta forma normale.
Facciamo subito un esempio.
Prendiamo l’angolo 4° 35’ 58”.
Osserviamo che il valore dei gradi e dei primi non contiene numeri con la virgola.
Osserviamo inoltre che il valore dei primi e dei secondi è inferiore a 60.
Possiamo dunque affermare che la misura è correttamente espressa in gradi sessagesimali e si trova espressa in forma normale.
Consideriamo ora una misura non espressa in forma normale:
4° 35’ 68”.
Notiamo subito che il valore dei secondi 68 non è inferiore a 60.
Osserviamo dunque che 68” = 60” + 8”
Sappiamo che 60” = 1’ e quindi diremo che:
68” = 1’ 8”
Il valore di 1’ lo aggiungiamo ai 35’ già presenti nella misura iniziale.
Passeremo quindi da 35’ a 36’.
In definitiva
4° 35’ 68”
Diventa in forma normale
4° 36’ 8”.
Ora notiamo infatti che sia il valore in primi che quello in secondi è inferiore a 60.
Quello che abbiamo osservato intuitivamente richiede ora un procedimento da poter applicare in maniera sistematica tutte le volte che l’ampiezza di un angolo va espressa in gradi sessagesimali in forma ridotta, ma questo fa parte di un’altra lezione!
Bene, con questa ultima osservazione, siamo giunti al termine di questa lezione.
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Il video della lezione è disponibile qui:
Grazie per l’attenzione e… alla prossima!
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