16 ottobre 2020 – Esercizio: 14. Quadrati di un disco

Testo dell’esercizio

In figura vedete due quadrati bianchi collocati all’interno di un disco circolare, in modo da avere un lato in comune e due vertici ciascuno sulla circonferenza. Il lato dei quadrati misura 21 cm.

Qual è l’area in cm² della parte di cerchio più scura?

(Utilizzate 22/7 al posto di π)

Soluzione

[850,5 cm²]

Svolgimento

Indichiamo con Ab l’area da calcolare, che come richiesto dall’esercizio è data dalla parte colorata in blu.

Per calcolare Ab, dobbiamo arrivare a conoscere:

• L’area del cerchio, che chiameremo Ac.
• L’area dei due quadrati. In particolare, i due quadrati hanno area uguale e indicheremo l’area di ciascun quadrato con Aq.

Infatti, una volta note queste aree, l’area della parte in blu, si potrà ottenere per differenza:

Ab = Ac – Aq – Aq

In particolare, andremo a rimuovere dall’area del cerchio (Ac) le aree dei due quadrati (Aq).

Il calcolo dell’area di ciascun quadrato (Aq) è molto semplice perché il testo dell’esercizio ci fornisce il lato del quadrato, che è pari a 21 cm.

Sappiamo che:

Area quadrato = lato x lato

Pertanto, possiamo scrivere che:

Aq = 21 cm x 21 cm = 441 cm²

Il calcolo dell’area del cerchio (Ac) sarebbe agevole se conoscessimo la lunghezza del suo raggio. Sappiamo infatti dalla teoria che:

Area cerchio = π x r²

Cerchiamo di capire se dall’analisi della figura, possiamo ricavare la lunghezza del raggio.

A tale scopo, dobbiamo fare due semplici osservazioni:

1. Se uniamo i due quadrati otteniamo un rettangolo inscritto nella circonferenza di cui dobbiamo calcolare l’area.
2. Le due diagonali del rettangolo ottenuto passano per il centro del cerchio.

Dato che le diagonali del rettangolo passano per il centro del cerchio, possiamo affermare che tali diagonali corrispondono al diametro del cerchio.

Il calcolo della diagonale del rettangolo è molto semplice perché conosciamo la lunghezza dei due lati del rettangolo. In particolare, il lato corto del rettangolo, che indicheremo con l1, è pari al lato del quadrato e avremo quindi:

l1 = 21 cm.

Il lato lungo del rettangolo, che indicheremo con l2, è invece pari al doppio del lato del quadrato, come facilmente deducibile dal disegno. Avremo quindi che:

l2 = 2 x l1 = 2 x 21 cm = 42 cm.

La diagonale del rettangolo, può essere ottenuta quindi con il teorema di Pitagora:

 

Il valore ottenuto per la diagonale d è un valore approssimato alla terza cifra decimale e quindi non è esatto. Questo ci deve portare a pensare se sia necessario introdurre fin da ora questa approssimazione.

Vedremo tra un attimo che non è necessario, ma per il momento procediamo con questo approccio che non è da ritenersi sbagliato.

Continuando, osserviamo che la diagonale d rappresenta anche il diametro del cerchio.

Sappiamo che il raggio di un cerchio è pari alla metà del suo diametro e pertanto possiamo arrivare a calcolare il raggio (r) del cerchio come:

r = d : 2 =  46.957 cm : 2 = 23.4785 cm

Bene, abbiamo ora tutto ciò che ci serve per calcolare l’area del cerchio (Ac):

Ac = π x r²

Prima di procedere, dobbiamo ricordare che il testo dell’esercizio ci chiede di approssimare il pi-greco con il valore 22/7. In generale, l’approssimazione più comune è 3.14, ma in questo caso ci viene chiesto di approssimarlo con il rapporto 22/7. Anche questo è un indizio che ci deve far pensare. Molto probabilmente chi ha scritto l’esercizio, ha fatto in modo che con questa scelta non debbano essere effettuate approssimazioni nei calcoli.

Continuiamo, tuttavia, con i nostri calcoli approssimati, salvo poi verificare se questi indizi abbiano un senso.

Abbiamo quindi che:

Ac = π x r² = 22:7 x 23.4785² = 1732.468 cm²

Anche in questo caso, nel fare i calcoli abbiamo ottenuto un numero con molti più decimali, ma per brevità lo abbiamo approssimato alla terza cifra decimale.

Bene, abbiamo ora i valori di Aq e Ac e pertanto possiamo calcolare Ab:

Ab = Ac – Aq – Aq = 1732.468 cm² – 441 cm² – 441 cm² = 850.468 cm²

La soluzione dell’esercizio sarebbe quindi 850.468 cm².

Appare tuttavia evidente che certi indizi non siano stati utilizzati e questo ci ha portati ad un valore che è stato approssimato alla terza cifra decimale.

Vediamo dunque quali considerazioni possiamo fare per arrivare ad un calcolo più preciso.

Partiamo dal calcolo della diagonale:

Quello che notiamo è che a “guastare” il calcolo è la presenza della radice quadrata che ci costringe ad approssimare il risultato ad un numero ragionevole di cifre decimali.

Proviamo quindi a non eseguire la radice quadrata. In tal caso, anziché ottenere la misura della diagonale, otterremo la misura della diagonale al quadrato:

Ovviamente in questo caso abbiamo ottenuto un numero esatto e intero.

Facciamo notare che d² rappresenta anche il valore al quadrato del diametro.

Vediamo se possiamo usare questo valore per calcolare l’area del cerchio:

Ac = π x r²

In particolare, osserviamo che per il calcolo dell’area del cerchio non abbiamo necessariamente bisogno del valore del raggio, ma ci è sufficiente il valore del raggio al quadrato.

Questo valore può essere facilmente ottenuto, osservando che:

r = d : 2

e quindi:

r² = d² : 4

Bene, usando quest’ultima relazione, abbiamo che:

r² = d² : 4 = 2205 cm² : 4 = 551.25 cm²

Il valore qui ottenuto, è un valore esatto e non è stata fatta alcuna approssimazione…siamo sulla buona strada!

Possiamo ora procedere con:

Ac = π x r²

Dove faremo le seguenti assegnazioni:

π -> 22/7

r² = 551.25 cm²

Quindi:

Ac = π x r² = 22/7 x 551.25 cm² = 1732.5 cm²

Anche in questo caso, il valore ottenuto è esatto e non contiene approssimazioni. Ciò accade perché i due lati del rettangolo sono multipli di 7 e pertanto la moltiplicazione per 22/7 non genera valori decimali. Pensateci!

Siamo ora pronti a ricalcolare Ab, con il nuovo valore ricavato per Ac:

Ab = Ac – Aq – Aq = 1732.5 cm² – 441 cm² – 441 cm² = 850.5 cm²

Bene, si osserva in questo caso che il numero ottenuto è esatto e contiene una sola cifra decimale.

Questa è la soluzione esatta!

Se la confrontiamo con la soluzione precedente:

Ab precedente = 850.468 cm²

Ab esatta = 850.5 cm²

Osserviamo che i due valori sono molto prossimi tra di loro e in particolare se approssimiamo alla prima cifra decimale il valore 850.468, otteniamo 850.5!

In definitiva, lo ribadiamo, la soluzione esatta è:

Ab = 850.5 cm²

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